クアンタマガジン

2023 年 4 月 26 日

クリスティーナ・アーミテージ/クアンタ・マガジン

寄稿者

2023 年 4 月 26 日

多くの人が高校の早い段階で学ぶ最初の証明は、素数が無限に存在するという古代ギリシャの数学者ユークリッドの証明です。 必要な作業はわずか数行で、整数と乗算ほど複雑な概念は使用しません。

彼の証明は、素数の数が有限である場合、それらをすべて掛け算して 1 を加えると、別の素数が存在することが暗示されるという事実に基づいています。 この矛盾は、素数が無限でなければならないことを意味します。

数学者には、何度も証明するという不思議な人気の娯楽があります。

なぜわざわざこんなことをするのでしょうか？ 一つには、それは楽しいです。 さらに重要なことは、「娯楽の数学と本格的な数学の間の境界線は非常に薄いと思う」と、メリーランド大学のコンピューターサイエンス教授であり、今年初めにオンラインに投稿された新しい証明の著者であるウィリアム・ガサーチ氏は述べた。

ガサルクの証明は、長い間続いてきた新しい証明の最新のものにすぎません。 2018年、モンテネグロ大学のロメオ・メシュトロヴィッチ氏は、包括的な歴史調査でユークリッドの定理の約200の証明をまとめた。 実際、連続的に変化する量を使用して整数を研究する解析的数論の分野全体は、間違いなく数学の巨人レオンハルト・オイラーが無限級数 1 + 1/2 + 1/3 + 1/ という事実を利用した 1737 年に始まったと考えられます。 4 + 1/5 + … は発散し (合計が有限数にならないことを意味します)、再び素数が無限に存在することを証明します。

オーストリアのグラーツ工科大学の数学者で、別の最近の証明の著者であるクリスチャン・エルシュルツ氏は、多くの小さな結果から厳密な結果を証明すること（数学者が補題を体系的に定理に組み立てるときに行うこと）の代わりに、彼はその逆を行ったと述べた。 「フェルマーの最終定理を使用しますが、これは実際には自明ではない結果です。そして、非常に単純な結果が得られます。」 このように逆算すると、数学のさまざまな分野間の隠れたつながりが明らかになる可能性がある、と彼は言いました。

モントリオール大学の数学者で、他の 2 つの証明の著者でもあるアンドリュー・グランビル氏は、「世の中には、最もばかばかしいほど難しい証明を手に入れるためのちょっとした競争がある」と語った。 「面白くなければなりません。技術的にひどいことをすることが重要ではありません。難しいことをやりたいと思う唯一の方法は、それが面白いということです。」

グランビルは、この友好的なワンアップマンシップには重大な意味があると語った。 研究者は、解決しようとする質問を与えられるだけではありません。 「数学における創作プロセスとは、単に機械にタスクを設定すると、機械がそれを解決するというものではありません。誰かが過去に行ったことを取り入れ、それを使ってテクニックを作成し、アイデアを発展させる方法を作成することです」 。」

ガサルクが言うように、「すべての論文は、素数が無限であるというかわいい新しい証明から本格的な数学に移行します。ある日は素数だけを見て、次の日には正方形の密度を調べることになります。」

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メリーランド大学のウィリアム・ガサーク教授は、素数が無限であるという新たな証明を発見した数学者の長い系譜の中で最も新しい人物である。

エヴァン・ゴラブ

ガサルクの証明は、整数を有限の色で色付けすると、和がその色になる同じ色の数値のペアが必ず存在するという事実から始まり、これは 1916 年にイッサイ・シュールによって証明されました。 ガサルクはシュールの定理を使って、素数が有限であれば、2 の和である完全立方体 (125 など、他の整数を 3 倍したものに等しい整数) が存在することを示しました。他の完璧な立方体。 しかし 1770 年に遡ると、オイラーはそのような立方体は存在しないことを証明していました。フェルマーの最終定理の n = 3 の場合であり、n が 2 より大きい場合、an + bn = cn の整数解は存在しないと仮定しています。その矛盾に基づいて、ガサルクは次のように推論しました。素数は無限に存在するはずです。

Granville の 2017 年の証明の 1 つは、フェルマーの別の定理を使用していました。 Granville は主に、Bartel Leendert van der Waerden による 1927 年の定理に依存していました。この定理は、整数を有限の色で色付けすると、同じ色の等間隔の整数の任意の長いチェーンが常に存在することを示しました。 ガサルクと同様に、グランビルも素数が有限であるという前提からスタートしました。 次に、ファン デル ワールデンの定理を使用して、等間隔に配置され、同じ色の完全な 4 つの正方形のシーケンスを見つけました。 しかし、フェルマーはそのような配列が存在し得ないことを証明しました。 矛盾！ このような数列は、素数の数が有限であれば存在する可能性がありますが、実際には存在できないので、素数の数は無限に存在するはずです。 グランビルの証明は、ファン デル ワールデンの定理を利用した最近の 2 番目の主要な証明でした。現在ハーバード大学の博士研究員であるレベント アルポージも、大学在学中に発表した 2015 年の論文でこの結果を使用していました。

グランヴィルはエルショルツの論文の特にファンであり、この論文はフェルマーの最終定理と素数が有限個しか存在しないという反事実的な仮定も適用しています。 ガザルツと同様に、エルショルツもシュールの定理を取り入れましたが、方法は多少異なりました。 エルショルツはまた、クラウス・ロスによる 1953 年の定理を使用して 2 番目の証明を行いました。この定理では、特定のサイズを超える整数のセットには、等間隔に配置された 3 つの数値のグループが含まれている必要があるとされています。

この研究に基づいて構築することで、より深い、さらには実用的な数学的疑問が解決される可能性があります。 たとえば、大きな数の因数分解の難しさに依存する公開キー暗号化は、有限の素数が存在する世界に住んでいる場合、非常に簡単に破られてしまいます。 したがって、エルショルツ氏は、無限に多くの素数の証明と、そのような暗号化スキームを解読することがいかに難しいかを証明することとの間に何らかの関連があるのではないかと考えています。 「ユークリッドの定理との関係は弱い」とエルショルツ氏は言う。 「より深いつながりを見るのは興味深いでしょう。」

グランビル氏は、最高の数学はさまざまな分野や主題の奇妙な組み合わせから生まれ、数学者が低レベルだが面白い問題に何年も費やした後に現れることが多いと語った。 彼は、一見縁遠いテーマが整数論に応用できるという事実に魅了されています。 最近の調査で、グランビル氏は、点集合トポロジーを使用したヒレル・ファステンバーグによる 1955 年の証明の「まばらな優雅さ」を賞賛しました。 Alpöge と同様に、彼の証明が出版されたとき、Furstenberg はまだ大学生でした。 彼はその後、さまざまな数学分野で輝かしいキャリアを積むことになります。

グランヴィルは、ユークリッドの古い結果の新しい証明は「単なる好奇心なのか、それとも長期的に重要なものなのか」と修辞的に尋ねた。 彼は自分の質問に答えて、「言えません」と答えた。

寄稿者

2023 年 4 月 26 日

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